การแก้โจทย์ปัญหา 4 ขั้นตอนของโพลยา

การแก้โจทย์ปัญหา 4 ขั้นตอนของโพลยา
( Polya's Four-Stage Method ,1957 )

ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นสถานการณ์หรือคำถามที่มีเนื้อหาสาระกระบวนการ หรือความรู้ที่ผู้เรียนไม่คุ้นเคยมาก่อน
และไม่สามารถหาคำตอบได้ทันที การหาคำตอบจะต้องใช้ความรู้และประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์และศาสตร์อื่นๆ ประกอบกับ
ความสามารถด้านการวิเคราะห์ การสังเคราะห์ และการตัดสินใจ
การเรียนการสอนเกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหา เป็นการฝึกให้นักเรียนมีวิธีการที่ดี ในการแก้ปัญหา มากกว่าที่จะสอนให้
นักเรียนรู้คำตอบของปัญหา โดยพยายามส่งเสริมให้นักเรียนค้นพบรูปแบบหรือวิธีการแก้ปัญหาต่าง ๆด้วยตนเอง นั่นคือ เน้น
ทักษะกระบวนการคิดของนักเรียนนั่นเอง
กระบวนแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ มีวิธีการที่หลากหลาย ประกอบด้วยหลายขั้นหลายตอน ในที่นี้จะขอนำเสนอเทคนิควิธีหนึ่ง
ที่เป็นที่นิยมใช้แพร่หลายมาก คือ เทคนิควิธีสอนแก้โจทย์ปัญหา 4 ขั้นตอนของโพลยา ( Polya ’s Four - Stage Method )
ดังนี้

ขั้นตอนวิธีสอนแก้โจทย์ปัญหา 4 ขั้นตอนของโพลยา ( Polya , 1957 : 5 - 6 )

ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจโจทย์ ( Understanding the problem )
ขั้นที่ 2 วางแผนแก้ปัญหา ( Devising a plan )
ขั้นที่ 3 ปฏิบัติตามแผน ( Carrying out the plan )
ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ ( Looking back )

วิธีการสอนคณิตศาสตร์ที่ทำให้ผู้เรียนไม่เบื่อ

เริ่มเดี๋ยวนี้หากทำอะไรในสิ่งที่ดีที่งาม โดยไม่มีการปรุงแต่งคนจะไม่สนใจ ไม่เหมือนอบายมุขที่ไม่ต้องปรุงแต่งมาก คนก็วิ่งเข้าหา การปรุงแต่งที่ทำให้คนสนใจที่นิยมกันก็คือทำให้มันสนุก ใครๆ ที่มีลูกที่ต้องเรียนหนังสือโดยเฉพาะคณิตศาสตร์ เรามีวิธีการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ให้สนุก (คล้ายๆ กับเอาเรื่ององค์กรปลา (Fish) มาประยุกต์ใช้งาน) ดังนี้ 1. การสอนต้องพยายามพูดตลกๆ แทรกเป็นระยะๆ (ทอร์คโชว์) 2. บางครั้งก็พาไปสวนสัตว์ แล้วให้เด็กอธิบายโครงสร้างกรงสัตว์ เช่นสามเหลี่ยม วงกลม(เรียนจากการเที่ยว) 3. เปลี่ยนอิริยาบถไปท่องอินเทอร์เน็ต เว็บไซด์คณิตศาสตร์ ทำให้ตื่นตาตื่นใจ ลดความจำเจ (จูงใจ) 4. เขียนการ์ตูนในหนังสือคณิตศาสตร์ เช่น 2+2 = 4 ก็เขียนเป็นรูปสัตว์ 2 ตัว + อีก 2 ตัว = รูปสัตว์ 4 ตัว (ใส่ศิลปะ) 5. แต่งเพลงมาร้องกัน เช่นเพลงหาครน. เพลงสูตรคูณ เอาแบบท่องอาขยานก็ได้ ร้องพร้อมๆ กันทั้งชั้นเรียนเลย (พักผ่อน) 6. สอนโดยแต่งเกมคณิตศาสตร์ บางครั้งใช้ไพ่ประสมสิบ แต่อย่าเผลอไปเล่นพนันกัน จะเป็นบาป (แข่งขัน) 7. สอนการตีโจทย์แบบง่ายๆ เล่าเรื่องจริงในชีวิตประจำวันแล้วให้นักเรียนตอบว่า แบบไหนดี เช่นการซื้อของ การคิดกำไรขาดทุนจากการขายปาท่องโก๋ (ฝึกสมอง) 8. สรุปบทเรียนโดยใช้เพลง หรือแข่งขันแต่งเพลงคณิตศาสตร์ อย่าลืมรางวัลแบบหอมปากหอมคอ (สรุปแนวคิด) 9. การจัดเข้าค่ายคณิตศาสตร์ อาจแบ่งเด็กออกเป็น 3 แบบ ดังนี้ (ก) แบบเฉพาะกลุ่มเด็กอัจฉริยะ สอนไม่ยากเลย (ข) แบบคละเด็ก (เก่งปานกลางกับไม่เก่ง คละกัน) มักเกิดปัญหาในการสอน (ค) แบบเฉพาะกลุ่มที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์เลย ต้องใช้เวลาการทำกิจกรรม ต้องคิดค้น หาสาเหตุ/จุดชอบให้พอ สุดท้ายต้องสรุปบทเรียน 10. หาวิธีเอาคณิตศาสตร์ไปใช้ในงานประจำ เช่นเอาคณิตศาสตร์สามเหลี่ยม วงกลมไปสร้างงานศิลป์ สำหรับคนชอบงานศิลป์แต่ไม่ค่อยชอบคณิตศาสตร์ (ประยุกต์ใช้งาน) 11. ลองเอาคณิตศาสตร์ไปใส่ในวิชาจริยธรรม เช่นไปซื้อของในตลาด แม่ค้าทอนเงินเกินมา จะทำอย่างไร ควรคืนแม่ค้า หรือรีบเก็บเอาไว้ เอา คณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับความเชื่อ เมื่อมีคนมาเล่าให้ฟัง เช่นว่าเขาเดินจากบ้านมาถึงที่ทำงาน 10 นาที ระยะทาง 5กิโลเมตร จะเชื่อหรือไม่ (สร้างจริยธรรม) 12. เอาคณิตศาสตร์มาสร้างแนวคิด สอนวิธีการทำกระเบื้องให้ออกลวดลายกระเบื้อง ให้หลากหลาย แล้วสามารถต่อลายกันได้ ลองใช้คณิตศาสตร์คำนวณ ดูความคิดสร้างสรรค์ (ฝึกสมองสร้างปัญญา) 13. การใช้โครงงาน โดยให้นักเรียน 3 คน/โครงงาน ให้หัดคิดวางแผน ใช้กระบวนการกลุ่มหัดแก้ปัญหาเฉพาะหน้า เช่น โครงงานการเปรียบเทียบราคาสินค้าเต่ละห้าง โครงงานประหยัดไฟฟ้า (ทีมงานสร้างโครงการ) 14. ทำนามธรรมให้เป็นรูปธรรม เช่น พาไปดูงานในสถาบันการเงิน ฝึกตัดสินใจวิธีการเลือกฝากธนาคาร การสอนตรีโกน ก็ให้ไปทดลองหาความสูงของเสาธงในโรงเรียน หรือของตึกอาคาร สอนเรื่องเมทริกซ์ ก็ใช้ชั้นวางหนังสือเป็นอุปกรณ์การสอน (สัมผัสได้) 15. วิชาสถิติ ก็ให้ไปนับลูกค้าเข้าร้านเซเว่นอีเลเว่น ในแต่ละชั่วโมงในแต่ละวันในหนึ่งสัปดาห์ ว่าเป็นอย่างไร ดูสถิติเพื่อทำนายลูกค้า เอาไปทำในลักษณะโครงงาน อาจให้ผู้ปกครองช่วยด้วย ลองให้เด็กนักเรียนเอาถ้วยน้ำแข็งใสมาชั่งน้ำหนักแต่ดูความแตกต่าง (SD) ของน้ำหนัก (นำสู่ชีวิตธุรกิจ) 16. การทำให้เด็กมีความสุขในการเรียนคณิตศาสตร์มีดังนี้ (สนุกและง่าย) (ก) การแปลงนามธรรม เป็นรูปธรรม เพื่อให้สัมผัสได้ (ข) การทำของยากให้เป็นของง่าย ไม่ต้องกลัวว่าจะสอนไม่ทัน ครูต้องคิดว่าตำราเป็นแค่แนวทาง เอาจุดประสงค์เป็นตัวตั้ง แล้วก็จะสอนทันเอง 17. ครูต้องการเด็กนักเรียนแบบไหนนั้น ครูไม่มีสิทธิเลือกลูกศิษย์ ใครที่ไม่มีทัศนคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ชอบวิชานี้อย่าพึ่งปฏิเสธ เด็กอ่อนคณิตไม่เป็นไร อยากได้คนตั้งใจมากกว่า (ใจเป็นใหญ่) 18. หลักสูตรใหม่นั้นทั้งผู้เรียนและผู้สอน ต้องมีปฏิสัมพันธ์มากขึ้น ต้องมีการวางแผนการเรียน สมมติว่ามี 7 วิชา ครูกับนักเรียนประชุมกัน ไหนลองมาวางแผนร่วมกันว่าจะเรียนจะสอนวิชาอะไรก่อน (สร้างความพึงพอใจและการมีส่วนร่วม) 19. เรียนให้สนุก เล่นให้มีความรู้ ลองให้จัดทำกิจกรรมดู เช่นการแสดงละคร แล้วให้ลองประยุกต์วิชาต่างๆ มาใช้งานเช่นบัญชีรับจ่าย เงินที่เก็บจากค่าเข้าชม ใช้ศิลปะทำฉาก ใช้คณิตศาสตร์คำนวณกำไรขาดทุน ใช้วิทยาศาสตร์ในการเล่นละครเชิงเทคนิคแสง สี เสียงเป็นกิจกรรมบูรณาการสอนนักเรียน (สนุกแบบชีวิตงาน) 20. ทำให้มันง่าย เนื้อหาในหนังสือยุ่งยาก ซับซ้อน ทำอย่างไรจึงทำให้มันง่าย ครูต้องสอนให้เกิดความคิดรวบยอด วิธีจำสูตร เขียนสูตรทุกสูตร ตามประตู ตามฝาตู้เย็น มีทุกที่ เห็นทุกวันวิธีท่องสูตร ทำให้เป็นเหตุการณ์ที่น่าอัศจรรย์ เช่น นักเรียน ม.2 มี 2 โรงเรียน ทำสงครามกัน พบกันเมื่อไร ตีกันทันที นั่นคือ [2+]-[2-]=[0]ถ 21. โรงเรียนไม่มีเครื่องฉายแผ่นใส พูดอย่างเดียว จะน่าเบื่อ อาจจัดให้มีห้องพักนักเรียน เวลานักเรียนว่างก็เข้าไปในห้องนี้ เช่น เวลาสอนสูตรหาปริมาตรของปิรามิด V = (พื้นฐาน) (สูง) ก็ทำเป็นกล่องปิรามิดพับได้ พับไปพับมารูปปิรามิดกลายเป็นกล่องสี่เหลี่ยมที่สูงเพียง ของความสูง นอกจากนี้อาจทำโมบายวาดภาพศิลป์ เพลง ผลงานจากโครงงาน สื่อการสอนที่เกี่ยวกับวิชาคณิตไว้ในห้องนี้ (สร้างรูปธรรม) 22. เด็กที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์จริงๆ ครูต้องใช้วิธีการเป็นเพื่อนไปกินข้าวด้วยกัน ทำให้เขารักครูก่อน อย่า สอนนาน สอนแพล็บเดียว (15 นาที) ก็ชวนไปห้องสมุด พูดเชียร์ไปเรื่อยๆ ค่อยๆ เพิ่มโจทย์ ให้กำลังใจหาโอกาสชมเชย อย่าพูดเปรียบเทียบกับคนอื่น หากนักเรียนสอบคะแนนเพิ่มจาก 1 เป็น 2 คะแนนเต็ม 10 คะแนน ก็น่ายินดีแล้วกับการดีขึ้น (ทำให้เกิดฉันทะ) 23. ปัญหาเวลานักเรียนเข้าสอบวิชาคณิตแล้วอึ้งไปพักใหญ่ให้แก้ไขโดยฝึกทำแบบฝึกหัดหรือโจทย์เป็นประจำ หาโจทย์มาทำซ้ำๆ เหมือนสอบตลอดเวลา จากง่ายไปยาก อ่านมากๆ ให้เคยชินกับการตีโจทย์คณิต (ทำให้เคยชิน) 24. พยายามหาสูตรลับ คณิตคิดลัด ของตนเองให้ได้ (รู้แจ้ง) 25. เวลาสอนให้สอนแบบสนุก ผิดถูกไม่ว่า วาดรูปลงไปก็ได้ สุดท้ายก็สรุปให้เขาฟัง (สอนสนุก) 26. สอนให้นักเรียนฟัง แต่เขาไม่เข้าใจ ให้ค่อยๆ อธิบายยกตัวอย่างมาประกอบเปรียบเทียบให้เห็นชัด (สอนคนเข้าใจยาก) 27. ปัญหาการเรียนสมัยใหม่ เรียนไม่ต่อเนื่องเชื่อมโยง เรียนไปเรียนมาแล้วกับมาที่เดิม อย่างนี้นักเรียนสับสน (การเชื่อมโยงเนื้อหา) 28. ปัญหาครอบครัวหย่าร้าง พ่อแม่เสียชีวิต เป็นปัญหาต่อการเรียน การสอน พยายามสอนให้นักเรียนว่าสิ่งนี้เป็นปัญหาของผู้ใหญ่ อย่ามานั่งทุกข์แทนผู้ใหญ่ แล้วจะเรียนไม่รู้เรื่อง ให้ตัดใจ แล้วมาเรียนดีกว่า ให้ปลอบใจ (สอนให้ไม่ทุกข์) 29. เรียนคณิตนานๆ จะรู้สึกเบื่อ ควรสลับเป็นเรื่องอื่นๆ เป็นระยะ ๆ (แก้เบื่อ) 30. ปัญหาฐานะการเงินของครอบครัว มีผลต่อการเรียน การให้งานนักเรียน แล้วต้องหาอุปกรณ์ ต้องใช้คอมพิวเตอร์ อย่างนี้พ่อแม่นักเรียนจนๆ เป็นปัญหาสนับสนุนแน่ๆ สร้างความเครียดให้นักเรียน (อย่าพึ่งเงินในการเรียนคณิตมากนัก) 31. นิสิต นักศึกษาที่ไม่กล้าถามอาจารย์ กลัวเพื่อนล้อเลียน ครูบางคนกลับมาต่อว่านักเรียนอีก ครูต้องเปิดใจ บางคนเรียนแล้วลืมง่าย ให้ฝึกบ่อย ๆ ชินตา ชินมือ เห็นทุกวัน ทำซ้ำๆ ก็จะแก้ปัญหาได้ (ไม่กล้าและขี้ลืม แก้ไขได้) 32. ต้องปฏิรูปครูด้วย ทำอย่างไรครูจึงจะมีทักษะทำให้คณิตเป็นของง่าย เรียนแล้วสนุก ประยุกต์ใช้ในชีวิต คิดแล้วสบายใจ หวังว่าแนวทางเรียนคณิตศาสตร์ให้สนุกนี้คงเป็นประโยชน์ต่อครู นักเรียน และประเทศชาติ นอกจากนี้ทักษะนี้อาจนำไปใช้กับวิชาอื่นๆ หรือการนำไปใช้ในการทำงานให้เรียบง่ายสบายใจ (Easy & Enjoy) ได้ ในสถานที่ทำงานได้อีกด้วย

จำนวนเฉพาะ

แล้วจำนวนเฉพาะคืออะไร จำนวนเฉพาะก็คือจำนวนนับที่มีแค่สองตัวเท่านั้นที่หารมันลงตัว คือ 1 และตัวมันเอง แล้วอย่างนี้หนึ่งถือเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

คำตอบคือไม่คะ เพราะ (ตอบแบบกำปั้นทุบดิน) ก็มันมีจำนวนนับแค่ตัวเดียวไง แต่จริงๆแล้วที่เขาไม่นับว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะนั้นมีหลายสาเหตุด้วยกัน แต่สาเหตุหลักๆก็คือ 1 นั้นเป็นเลขพิเศษ (เป็นเอกลักษณ์การคูณ) รวมไปถึงในการแยกตัวประกอบนั้น เราต้องการแยกตัวประกอบของจำนวนใดๆ ให้เป็นรูปของการคูณของตัวเลขที่น้อยกว่าจำนวนนั้น เช่น 2=1x2 แต่ 1 นั้นมันไม่มีนี่คะ (แต่ตอนนี้นักคณิตศาสตร์บางคนก็บอกว่า 1 นั้นเป็นจำนวนเฉพาะเหมือนกัน) แล้วจำนวนเฉพาะนั้นมีมาตั้งแ่ต่เมื่อไร ว่ากันว่ามีมาตั้งแต่สมัยอียิ ปต์โบราณแล้วครับ ดังนั้นมีมาเป็นพันปีแล้วคะ

แต่คนแรกที่พูดถึงจำนวนเฉพาะ ก็คือ ยูคลิด (Euclid) นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ (ซึ่งก็เป็นพันปีอีกเหมือนกัน) ยูคลิดนั้นเขียนหนังสือที่ชื่อว่า The Elements หนังสือเรื่อง The Elements นั้นมีถึง 13 เล่มด้วยกัน และเป็นหนังสือพิมพ์มากที่สุดอันดับสองทั่วโลกเลยนะครับ จะเป็นรองก็เป็นเพียงแต่ไบเบิลเท่านั้น จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดนั้นง่ายใช่ไหมครับ เพราะว่ามันคือ 2 แต่ถ้านับ 1 ว่าเป็นจำนวนเฉพาะตามที่นักคณิตศาสตร์บางคนบอกว่าใช่ ก็หนึ่งแหละคะ แต่ใหญ่ที่สุดหล่ะ คำตอบคือมันยังหาไม่ได้คะ

ก็เพราะในหนังสือเรื่อง The Elements ของยูคลิดนะสิคะ ทำพิษ เพราะยูคลิดพิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้าเราเจอจำนวนเฉพาะใหญ่มากตัวหนึ่ง แต่หาไปอีกหน่อยเราก็จะเจอที่ใหญ่กว่านั้นอีก เท่าที่คนหาได้ในตอนนี้ จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดนั้นคือ 232,582,657 − 1 หาเจอเมื่อ 11 เดือนกันยายน ปี 2006 นี้เองครับโดย Great Internet Mersenne Prime Search ในนี้มีคำอยู่คำหนึ่งที่ชื่อว่า Mersenne Prime, Mersenne Prime นั้นเป็นวิธีการหาจำนวนเฉพาะวิธีหนึ่งครับ จากสมการ Mn=2n-1 Mn นั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะคะ แต่จริงๆแล้ววิธีนี้ ก็ไม่ใช่จะหาจำนวนเฉพาะได้ทุกตัวหรอกนะครับ เพราะว่า ลองแทน n=11, M11=211-1 =2047 แต่ 2047 มันหารได้ด้วย 23 กับ 89 ลงตัว

วิธีการตรวจดูว่าตัวเลขไหนที่เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วมีวิธีไหนที่เราจะรู้ได้ว่าตัวเลขนั้น เช่น N เป็นจำนวนเฉพาะ วิธีแรกก็คือ ก็ลองหารดูสิคะหารตั้งแต่ 1 ถึงตัวมันเลย ก็คือ N วิธีนี้ดูเหนื่อยใช่ไหมครับ งั้นก็เอาใหม่ ก็ลองหารด้วย 1 ถึง sqrt(n) ก็ลดลงได้เยอะ แต่ก็ยังช้าอยู่ดีใช่ไหมคะ งั้นคราวนี้มาลองวิธีฉลาดๆดูบ้าง วิธีฉลาดๆเช่น Fermat’s little theorem Fermat นั้นเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสครับ แต่จะบอกว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ก็ไม่เชิง เพราะว่า Fermat นั้น หากินทางกฎหมายคะ แค่คิดเลขเป็นงานอดิเรกเท่านั้น Fermat’s little theorem บอกว่า ถ้า a เป็นจำนวนนับใดๆ และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ap-1 หารด้วย p ซะ แล้วถ้าได้เศษ 1 แล้วล่ะก็ p ก็เป็นจำนวนเฉพาะ แต่แหม มันก็ดูยากนะคะ เพราะเราต้องหาว่า a ตัวไหน ที่จะทำให้ข้อความข้างบนเป็นจริง ดูแล้วก็เหนื่อย มาดูิีอีกวิธีที่ฉลาดๆกันดูบ้างคะ (แต่วิธีนี้นั้นไม่ได้แน่นอนเสมอ) เห็นคำว่า Mersenne prime ที่ตอนต้นไหมคะ Mn=2n-1 ถ้าเราเอา ก็เอา Mn มาหารด้วย n ซะ ถ้าเหลือเศษหนึ่ง ก็ิอุิบอิบก่อน แต่ถ้าไม่ใช่หนึ่ง Mn ก็ตัวประกอบแน่นอนคะ แตุ่ถ้าเป็นหนึ่ง ก็ 555++++ Mn อาจจะเป็นจำนวนเฉพาะก็ได้ หรืออาจจะไม่ใช่ก็ได้ (เพียงแต่ว่ามีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนเฉพาะมากกว่าเท่านั้นเอง)

ลักษณะของจำนวนเฉพาะนั้นมีมากมายคะ เช่น Wilson’s theorem ที่บอกว่า จำนวนเต็ม p>1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p-1)!+1 หารด้วย p ลงตัว Bertrand’s postulate ที่บอกว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 แล้ว จะมีจำนวนเฉพาะหนึ่งตัว p ที่ nทั้งหมดเป็นเรื่องเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่นักคณิตศาสตร์นั้นศึกษากันมาเป็นพันๆปีเลยนะคะเนี่ย ตอนหน้าเราจะมาดูกันว่า แล้วจำนวนเฉพาะนั้นสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับอะไรกันได้บ้าง ตอนนี้เอาแค่ปูพื้นฐานก่อนนะคะ

อ้างอิง du Sautoy, M. The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. HarperCollins 2004 (มีเว็บไซท์ที่http://www.musicoftheprimes.com/) Derbysrine, J. Prime Obssession, John Henry Press. Washington DC. 2003 Devlin, K. The language of mathematics, W. H. Freeman and Company, NY. 1998 http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number#There_are_infinitely_many_prime_numbers ที่มา http://gotoknow.org/blog/mathbeauty/93000